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UNIVERSITAET TRIER
47/1997 19. Februar 1997
CeBIT `97 - Exponate der UNIVERSITAET TRIER Gemeinschaftsstand ,Forschung und Technologie in Rheinland-Pfalz" in Halle 22
Mathematik: ,Diskrete Tomographie"
Tomographie - die Rekonstruktion eines Objektes aus seinen ,Roentgenbildern" - ist vor allem aus der Medizin bekannt. AEhnliche Bildgewinnungsverfahren finden aber in vielen Bereichen der Biologie, der Physik und der Materialwissenschaften ihren Einsatz. Neben den technischen Methoden zur Gewinnung der Daten sind mathematische Werkzeuge erforderlich - ohne die mathematische Aufbereitung der Rohdaten waere eine Visualisie-rung der untersuchten Objekte unmoeglich. Wie gut die ,Mathematik der Computerto-mographie" verstanden ist, kann man taeglich aus der Qualitaet der erzeugten medizini-schen Bilder ablesen. Bei in den Materialwissenschaften erzielten atomaren Aufloesungen elektronenmikroskopischer Aufnahmen versagen dagegen die ,klassischen" mathemati-schen Verfahren. Das zu loesende mathematische Problem der Rekonstruktion kristalli-ner Strukturen fuehrt auf schwierigste ganzzahlige Optimierungsprobleme gigantischen Ausmasses. Wissenschaftler aus dem Fach Mathematik der Universitaet Trier praesentie-ren auf der Cebit '97 (Halle 22) ihre im Bereich der ,Diskreten Tomographie" erzielten Ergebnisse. Bereits entwickelte Algorithmen werden in einer Softwaredemonstration vorgestellt. Der Benutzer hat dabei selbst die Moeglichkeit, diskrete Objekte zu generie-ren, die relevanten,Roentgendaten" zu extrahieren und dann die Wirkungsweise der Verfahren durch direkten Vergleich der Ausgangs- mit der rekonstruierten Struktur zu studieren.
Die Computertomographie ist in den letzten zwan-zig Jahren zu einem unverzichtbaren Hilfsmittel der medizinischen Diagnostik geworden. Aber auch in den Materialwissenschaften -etwa bei der zerstoe-rungsfreien Materialpruefung - finden bildgebende Verfahren ihren Einsatz. Die immer feiner werden-den Verfahren der Roentgentechnik, der Elektro-nenmikroskopie oder aehnlicher Methoden liefern dabei Rohdaten, die erst durch die Anwendung mathematischer Techniken in (approximative) Re-konstruktionen der zugrundeliegenden Objekte ueberfuehrt werden und nur dadurch brauchbare dreidimensionale Visualisierungen erlauben. Im ,makroskopischen Bereich" ist die Mathematik dieses Problems gut verstanden; die entsprechenden Algorithmen werden taeglich in allen gaengigen Com-puter-Tomographen erfolgreich eingesetzt. Bei extrem hohen, atomaren Aufloesungen, die mit-tels quantitativer Analyse von Aufnahmen hochaufloesender Transmissionselektronenmikro-skope gewonnen werden, muessen die Atome ein-zeln (als Punkte) modelliert werden, so dass das Problem einen ganz anderen Charakter gewinnt: Methoden der diskreten Mathematik und kombina-torischen Optimierung werden relevant. Die Diskrete Tomographie beschaeftigt sich somit mit dem Problem der Rekonstruktion von Punkt-mengen (die etwa kristallinen Strukturen entspre-chen) im dreidimensionalen Raum, die nur durch wenige ihrer ,zweidimensionalen Roentgenbilder" zugaenglich sind. Zentrale Fragen sind dabei: Durch wie viele (und welche) Aufnahmen ist ein Objekt eindeutig bestimmt? Wie aendert sich diese Zahl, wenn saemtliche verfuegbaren A-Priori-Informationen beruecksichtigt werden? Wie sensitiv sind die Loe-sungen gegenueber kleineren Messfehlern? Wie effi-zient kann man erkennen, ob die gegebenen Daten im wesentlichen konsistent sind (also keine wider-spruechlichen Informationen enthalten, die eventuell durch grobe Messfehler aufgetreten sein koennen)? Wie effizient kann entschieden werden, ob die ge-gebenen Daten schon zur eindeutigen Rekonstruk-tion wenigstens moeglichst grosser Teilstrukturen ausreichen? Eine vollstaendige Loesung dieser Probleme hat eine Vielzahl bekannter potentieller Anwendungen. So koennte man etwa mit entsprechenden Verfahren Rueckschluesse auf Qualitaet von Siliziumbausteinen ziehen, die ja bekanntlich zur Weiterverarbeitung eine genuegend glatte Oberflaeche aufweisen muessen. Bis zur Bereitstellung eines universell einsetzbaren ,Rekonstruktionstools" ist es noch ein weiter Weg; eine Vielzahl von Methoden und Ansaetzen ver-schiedener Gebiete der Mathematik und Informatik muessen erweitert werden, um die theoretischen und algorithmischen Grundlagen sowie die darauf auf-bauenden praktischen Konzepte des noch jungen Gebietes der Diskreten Tomographie zu entwik-keln.
Fachkontakt Prof. Dr. Peter Gritzmann, Dieter Prangenberg, Sven de Vries, Markus Wiegelmann, Fb IV, Ma-thematik, Universitaet Trier, D-54286 Trier, Tel. (0651) 201-3484 (3485) (3457), Fax: (0651) 201-3966, email: gritzman@uni-trier.de
Criteria of this press release:
Information technology, Mathematics, Physics / astronomy
transregional, national
Research projects
German
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