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Mathematiker tagen ueber Galoisverbindungen
Konferenz an der Uni Potsdam vom 15. bis 18. Maerz 2001
Wissenschaftler aus 15 Laendern tagen vom 15. bis 18. Maerz 2001 an der Universitaet Potsdam zum Thema "Galois Connections and Applications" statt. Die Konferenz beschaeftigt sich in mehreren Hauptvortraegen mit der allgemeinen Theorie der Galoisverbindungen aus der Sicht unterschiedlicher mathematischer Disziplinen wie der Ordnungs- und Verbandstheorie, der universellen und klassischen Algebra und der Kategorientheorie.
Der Begriff der Galoisverbindung gehoert zu den zentralen mathematischen Begriffen. Die Bezeichnung "Galoisverbindung" geht urspruenglich auf den franzoesischen Mathematiker Evariste Galois (1811-1832) zurueck, der an dem Problem der Aufloesbarkeit algebraischer Gleichungen beliebigen Grades arbeitete. In der Schule lernt man, dass algebraische Gleichungen zweiten Grades, welche die Form ax2 + bx + c = 0 haben, zwei, eine oder keine reelle Loesung besitzen koennen und dass man die Loesungen mit Hilfe einer Formel berechnen kann. Schon die Mathematiker und Philosophen des antiken Griechenland stellten die Frage nach der Loesbarkeit und den Loesungen algebraischer Gleichungen von hoeherem als zweitem Grad. Die oekonomische Entwicklung in den italienischen Stadtstaaten in der Zeit der Renaissance verlieh dieser Problemstellung neuen Schwung. Die Rechenmeister dieser Zeit hatten im Auftrag der Geldverleiher und ihrer Kunden Zins und Zinseszins zu berechnen, die Kaufleute und Schiffseigner Venedigs benoetigten Rat und Hilfe der Rechenmeister bei der Loesung vielfaeltiger Probleme. In dieser Zeit fand Niccolo Tartaglia Loesungsformeln fuer die Loesung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades, die unter der Bezeichnung "Cardanosche Formeln" bekannt geworden sind. Die Frage nach der exakten Loesung algebraischer Gleichungen von hoeherem als viertem Grade, das heisst, mit Hilfe von Loesungsformeln, blieb weiterhin offen. So blieb dieses Problem mehr als 200 Jahre danach fuer den jungen Galois eine echte Herausforderung.
Den entscheidenden Durchbruch erreichte er durch die durchaus ungewoehnliche Idee, das Problem in einen voellig verschiedenen Bedeutungszusammenhang zu verlagern. An Stelle der Loesungen algebraischer Gleichungen untersuchte er gewisse algebraische Strukturen, genannt Gruppen. Es stellte sich heraus, dass eine bestimmte Eigenschaft von Gruppen, die ebenfalls Aufloesbarkeit genannt wird, eng mit der Loesbarkeit algebraischer Gleichungen zusammenhaengt. So kann man beweisen, dass eine beliebige algebraische Gleichung von hoeherem als viertem Grad nicht mit Hilfe von Loesungsformeln loesbar ist, weil die zugehoerige Gruppe nicht aufloesbar ist.
Diese Entdeckung hat entscheidend zur Entwicklung der Algebra als Teilgebiet der Mathematik beitragen.
Noch weitergehende Konsequenzen hatte die "ungewoehnliche Idee" des jungen Evariste Galois, ein Problem in eine gaenzlich andere Begriffswelt zu transformieren und seine Loesung in der neuen Ideenwelt zu versuchen. Heute wissen wir, dass man zu dieser Transformation ein Paar von Abbildungen zwischen den beiden unterschiedlichen "Welten" benoetigt, die bestimmte, einfach zu beschreibende Eigenschaften haben. Dieses Paar von Abbildungen nennt man eine Galoisverbindung. Inzwischen sind unzaehlige Beispiele von Galoisverbindungen in der Mathematik, Physik, Informatik und anderen Wissenschaftsdisziplinen bekannt und eingehend untersucht worden.
Die Konferenz beschaeftigt sich in mehreren Hauptvortraegen namhafter deutscher und auslaendischer Wissenschaftler mit der allgemeinen Theorie der Galoisverbindungen aus der Sicht unterschiedlicher mathematischer Disziplinen wie der Ordnungs- und Verbandstheorie, der Universellen und Klassischen Algebra und der Kategorientheorie.
Insbesondere beschaeftigt sie sich mit den Anwendungen der Galoisverbindungen in der Theorie Formaler Sprachen und Automaten und der Formalen Begriffsanalyse. Letztere ist ein Gebiet der Angewandten Mathematik, das sich auf eine Mathematisierung von Begriffen und Hierarchien von Begriffen gruendet. Die Archivierung und der einfache Zugriff auf Daten ist ein grundsaetzliches Problem der modernen Kommunikationsgesellschaft. Der Aufbau von Datenhierarchien unter logisch-begrifflichem Aspekt nach Unter- und Oberbegriff basiert auf der durch Begriffsinhalt und Begriffsumfang gegebenen Galoisverbindung. Derartige Begriffssysteme haben sich in der Datenanalyse und Wissensverarbeitung bestens bewaehrt und zeigen, wie nahe relativ abstrakte mathematische Begriffe den Anwendungen stehen.
Hinweis an die Redaktionen:
Zeit der Tagung: 15. bis 18. Maerz 2001, Beginn: 15. Maerz um 15.00 Uhr
Ort der Tagung: Universitaetskomplex Am Neuen Palais, Haus 8, Raeume 0.58, 0.59 und Foyerraeume
Fuer weitere Auskuenfte steht Ihnen Prof. Dr. Klaus Denecke aus dem Institut fuer Mathematik der Universitaet Potsdam telefonisch unter 0331/977-1415, E-Mail: kdenecke@rz.uni-potsdam.de zur Verfuegung. Zusaetzliche Informationen sind unter http://oldwww.math.uni-potsdam.de/alg1/galoisconf1.htm abrufbar.
Criteria of this press release:
Mathematics, Physics / astronomy
transregional, national
Miscellaneous scientific news/publications, Scientific conferences
German
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