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Erstes kompaktes „Bonnet-Paar“ gefunden – mathematische Faustregel widerlegt
Über 150 Jahre galt in der Flächentheorie eine Faustregel, die auf den französischen Mathematiker Pierre Ossian Bonnet zurückgeht: Kennt man an jedem Punkt einer kompakten Fläche ihre Metrik und ihre mittlere Krümmung, lässt sich die Fläche eindeutig bestimmen. Nun hat ein Team aus drei Mathematikern der Technischen Universität Berlin, der Technischen Universität München (TUM) und der North Carolina State University in den USA es geschafft, diese anerkannte Regel zu widerlegen. Dafür konstruierten sie zwei unterschiedliche donutförmige Flächen, die dieselbe Metrik und dieselbe mittlere Krümmung besitzen. Ein Beispiel für diesen Fall fehlte seit Jahrzehnten.
„Wir konnten zwei kompakte, also in sich geschlossene, donutförmige Flächen konstruieren, sogenannte Tori, die dieselbe Metrik und mittlere Krümmung besitzen, obwohl beide global unterschiedlich aufgebaut sind“, erklärt Prof. Dr. Alexander I. Bobenko von der AG Geometrie und Mathematische Physik der TU Berlin. Nach einem solchen Beispiel hatte die Forschung jahrzehntelang vergeblich gesucht. Die sogenannte Metrik beschreibt dabei die Abstände auf der Oberfläche, also wie weit zwei Punkte auf der Fläche voneinander entfernt sind. Die mittlere Krümmung gibt an, wie stark sich die Fläche im Raum nach außen oder nach innen wölbt.
Bonnets Faustregel und ihre Grenzen
Ausnahmen zu Bonnets Faustregel waren zwar bekannt, doch traten sie nur bei nicht „kompakten“ Flächen auf. Solche Oberflächen dehnen sich entweder unendlich in eine Richtung aus, wie eine Ebene, oder besitzen Kanten, an denen sie abrupt enden. Für Kugeln, die eine kompakte Oberfläche haben, konnte inzwischen gezeigt werden, dass die Metrik und die mittlere Krümmung die Fläche eindeutig festlegen. Bei den ebenfalls kompakten Tori war bekannt, dass zu einer gegebenen Metrik und einer gegebenen mittleren Krümmung höchstens zwei verschiedene Torus-Flächen gehören können. Obwohl diese Möglichkeit seit Jahrzehnten bekannt ist, fehlte jedoch ein konkreter Fall.
Fehlendes Beispiel für ein Tori-Paar gefunden
Genau dieses Beispiel liefern nun die drei Mathematiker. „Uns ist es nach vielen Jahren Forschung erstmals gelungen, einen konkreten Fall zu finden, der zeigt, dass selbst bei geschlossenen, donutartigen Oberflächen lokale Messdaten nicht zwingend eine einzige globale Form festlegen“, sagt Tim Hoffmann, Professor für angewandte computergestützte Mathematik an der TUM School of Computation, Information and Technology. „Bei der Suche hat die sogenannte diskrete Differentialgeometrie eine entscheidende Rolle gespielt. Sie ist eine moderne mathematische Disziplin mit wichtigen Anwendungen, die wir im Rahmen des Sonderforschungsbereichs SFB/TRR 109 ‚Discretization in Geometry and Dynamics‘ entwickelt haben“, sagt Alexander Bobenko.
Zusätzliche Informationen:
Bobenko, A.I., Hoffmann, T. & Sageman-Furnas, A.O. Compact Bonnet pairs: isometric tori with the same curvatures. Publ.math.IHES 142, 241–293 (2025): https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00159-z
Die TU Berlin war Sprecherhochschule des SFB/Transregio 109 „Discretization in geometry and dymnamics“; TU Berlin und TU München waren zwei Hauptstandorte des SFB. https://www.discretization.de/
Diese Pressemitteilung mit Bild zum Download: https://www.tu.berlin/go239617/n84844/
Pressemitteilung der TUM: https://www.tum.de/aktuelles/alle-meldungen/pressemitteilungen/details/jahrzehnt...
AG Geometrie und Mathematische Physik
Institut für Mathematik
Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Technische Universität Berlin
Tel.: +49 (0)30 314-24655
E-Mail: bobenko@math.tu-berlin.de
Criteria of this press release:
Journalists
Mathematics
transregional, national
Research results
German
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