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Reibungslose Verkehrsabläufe beim autonomen Fahren, verbesserte Defibrillatoren oder die adaptive Regelung von Lastenkränen auf einer Baustelle – sie alle sind Beispiele für dynamische Systeme, deren präzise Steuerung ohne mathematische Methoden praktisch unmöglich wäre. Jun.-Prof. Dr. Thomas Berger, seit 2019 Leiter der AG „Systemtheorie“ an der Universität Paderborn, befasst sich mit den methodischen und algorithmischen Grundlagen, die diese Prozesse regeln. Dafür liefert er theoretische Garantien mithilfe von Differenzialgleichungen.
Mit Manipulation zum Ziel
Der Mathematiker nennt ein einfaches Beispiel: „Stellen wir uns einen kleinen Wagen vor, der ein mit Wasser gefülltes Behältnis transportiert. Sobald der Wagen fährt, schwappt das Wasser im Gefäß hin und her. Ganz einfach ausgedrückt, beschäftigt sich die Systemtheorie im Bereich der angewandten Mathematik u. a. mit der Frage, wie so ein System stabilisiert werden kann.“ Die Antwort ist da schon ein wenig komplexer: „Eine Möglichkeit wäre, die Bewegung des Wagens zu manipulieren, um die Schwingungen des Wassers auszugleichen. Dafür muss man aber mindestens grob wissen, wie die Steuerung des Motors funktioniert. Hier kommt die Kontrolltheorie ins Spiel, bei der es darum geht, Eingangssignale – in diesem Fall die Motorkraft – so zu wählen, dass man ein entsprechendes, vorab definiertes Ziel erreicht“, erklärt Berger.
Autonomes Fahren: Fehler im System?
Die Systemtheorie beschäftigt sich mit der Analyse von dynamischen Systemen, bei denen ein mathematisches Modell die Beziehungen zwischen Eingangs- und Ausgangsgrößen herstellt. Was den Wissenschaftler dabei besonders interessiert, sind Probleme, die sich im Rahmen der Anwendung ergeben. Aktuell arbeitet Berger an einer Verbesserung der Regelungsmechanismen, die beim autonomen Fahren zum Tragen kommen. „Als vernetzte Systeme kommunizieren Fahrzeuge miteinander. Die Ziele sind klar: Keine oder weniger Unfälle und ein reibungsloser Verkehrsfluss. Bestehende Regelungsmechanismen, die zum Beispiel die Abstände zwischen den Autos steuern, funktionieren allerdings noch längst nicht so gut, wie sie sollten“, gibt Berger zu bedenken. So müsse mindestens theoretisch garantiert werden, dass kein Unfall passiert.
Mithilfe der sogenannten „Funnel-Regelung“ (Englisch für „Trichter“) arbeitet der Mathematiker an Reglern, die die Position des eigenen Fahrzeugs auf Basis mathematischer Berechnungen steuern. Dazu Berger: „Damit soll erreicht werden, dass zu jedem Zeitpunkt der Sicherheitsabstand garantiert ist. Wir verwenden dabei Differenzialgleichungen zweiter Ordnung.“ Aus Sicht der Mathematik heißt das: Unter Einbeziehung der Parameter Abstand und Geschwindigkeit berechnet der Regler ein Eingangssignal. Dieses stellt sicher, dass sich der Abstand immer in einem vorher definierten Bereich befindet, den man sich als trichterförmige Zone in einem Koordinatensystem vorstellen kann. Je näher der Abstand dem Rand dieser Zone kommt, desto mehr muss gebremst bzw. beschleunigt werden. Berger: „Es ist also theoretisch beweisbar, dass der Regler den Sicherheitsabstand immer einhält, unter der Voraussetzung, dass ich beliebig stark bremsen kann.“
Mathematik für das Herz
Auch die elektrische Aktivität des menschlichen Herzmuskels kann mithilfe von Differenzialgleichungen zum einen modelliert und zum anderen durch deren konkrete Anwendung – etwa bei Defibrillatoren oder Schrittmachern – beeinflusst werden. Berger erklärt die Relevanz: „Wann eine Defibrillation, also die Wiederherstellung einer normalen Herzaktivität durch starke Stromstöße, notwendig wird, kann durch Messungen festgestellt werden. Allerdings basieren diese im Moment auf numerischen Lösungsansätzen, die kompliziert und häufig mit Fehlern behaftet sind. Wichtig wäre es, eine automatisch einsetzende Defibrillation oder eine entsprechende Aktivität des Schrittmachers zu entwickeln, damit diese lebensrettenden Maßnahmen sofort eingeleitet werden können.“ Laut Berger bestehe hier dringender Verbesserungsbedarf. Die konkrete Ausgestaltung aufseiten der Industrie sei allerdings erst der zweite Schritt. Zuerst müssten mathematische Modelle entwickelt und auf deren tatsächliches Potenzial hin untersucht werden. Ein Projekt, was genau das zum Ziel hat, laufe in Paderborn zwar bereits, ehe es belastbare Ergebnisse gebe, werde es aber noch dauern, so Berger.
Jun.-Prof. Dr. Thomas Berger, Institut für Mathematik, E-Mail: thomas.berger@upb.de
Jun.-Prof. Dr. Thomas Berger analysiert dynamische Systeme mithilfe von Differenzialgleichungen.
Universität Paderborn
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